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1. Introducción al concepto de magnitud. Las magnitudes geométricas
Llamamos magnitud
a la cualidad de los objetos (físico o no) que permite compararlos de forma que
se establezca respeto a ella la igualdad, la desigualdad y la suma.
Cada elemento de una magnitud se llama cantidad y la cantidad especial que
seleccionamos como elemento básico, para compararla con todas las demás, la
llamamos unidad.
La magnitud desde el punto de vista matemático, es
una estructura matemática, que sirve de modelo a las diferentes magnitudes
físicas. Es un conjunto en el que se han definido relaciones de igualdad y
desigualdad entre sus elementos o cantidades, lo que permite clasificarlas y
ordenarlas, y al menos una operación llamada “suma” con ciertas propiedades.
Todo es lo que da estructura a ese conjunto que llamamos Magnitud.
Sólo analizaremos las magnitudes que corresponden a
propiedades de las figuras lineales, superficiales y especiales que son la
LONGITUD, la SUPERFICIE y el VOLUMEN. Hay otras propiedades de algunas figuras
geométricas, la AMPLITUD ANGULAR, que también es una magnitud y que ya
caracterizamos en una aproximación elemental. También aparecen en los problemas
matemáticos la magnitud TIEMPO.
- LONGITUD –
SUPERFICIE (ÁREA) – VOLUMEN – MASA – CAPACIDAD
- AMPLITUD
ANGULAR
- TIEMPO
Equivalencia entre capacidad y volumen:
1dm3 = 1l.
1m3 = 1ml.
Ejemplo: Pasar de cm3 a dl.
45 cm3 = 0’045 dm3 = 0’045 l
= 0’45 dl
1000
2. Introducción al concepto de medida
El
número que indica cuantas vees hay que repetir la unidad para obtener la
cantidad es la medida de la cantidad. En el ejemplo de medida de longitudes
diríamos:
Medida
del palo = 107 cm
O
sea la medida es 107 tomando como unidad el cm. Conviene expresar siempre la
unidad de medida.
El
resultado de la medida es siempre un número, aunque el número puede ser
diferente si se utilizan unidades diferentes. Hoy tenemos aceptado en toda la
comunidad científica y en casi todos los usos de la vida cotidiana el SISTEMA MÉTRICO
DECIMAL, cuyas unidades se deducen unas otras multiplicando por factores 10n.
3. Magnitudes continuas y discretas
Las magnitudes que hemos citado, Longitud,
Superficie, Volumen, Amplitud Angular, Masa y Tiempo son magnitudes continuas.
Las llamamos así porque admitimos, por hipótesis, que se pueden subdividir
hasta llegar a obtener una cantidad tan pequeña como queramos.
Para medir las magnitudes continuas necesitamos el
conjunto de los números reales, que es el único que nos asegura que siempre hay
un número para cada par (cantidad, unidad).
Hay muchos conjuntos de cosas cuyas cantidades no
son continuas, sino discretas, que quiere decir que están separadas unas de
otras. Esa propiedad es también una magnitud y la operación de medida se llama
CONTAR.
Contar: es la operación de
medir la Magnitudes discretas. La medida, o sea el número que resulta de
contar, es un número natural.
Las diagonales que tiene un polígono, los vértices
de los poliedros, etc., y en otros campos científicos y en la vida cotidiana se
cuentan un sinfín de cosas.
La magnitud discreta, por una cualidad que nos
permite ver las cosas aisladas o separadas una de otra, o sea, como
discontinuas.
En resumen que en muchísimos casos medios contando
los elementos de un conjunto, teniendo cuidado de elegir como unidad un
elemento natural, o sea, cada una de las cosas que forman el conjunto, que está
separada de las demás. Por tanto los conjuntos discretos de cosas separadas,
los podemos siempre medir con números naturales, contando cuantas cosas hay.
4. Magnitudes fundamentales y derivadas
Las magnitudes no son independientes unas de otras. Una de las tareas de la ciencia es encontrar las
relaciones que ligan unas magnitudes con otras, que se expresan a través de
fórmulas que definen la magnitud derivada en función de las fundamentales.
Superficie [S] = [L]2
Volumen [V] = [L]3
Velocidad [v] = [L] [T]-1
Aceleración [a] = [L] [T]-2
Peso o fuerza [F] = [M] [L] [L]-2
La longitud L, la masa M, el tiempo T y la carga Q,
se consideran por ahora cuatro magnitudes fundamentales que pueden construir
todas las demás. Ellas constituyen el SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDA o DE
UNIDADES FUNDAMENTALES, MLTQ.
Por tanto, entre las magnitudes “matemáticas”
típicas la única fundamental es (la longitud). La superficie y el volumen se
miden en función de la longitud.
5. La longitud
Es una magnitud fundamental del sistema métrico
internacional, de la cual se derivan las otras dos magnitudes geométricas
básicas: superficie y volumen.
La longitud de los segmentos y la distancia entre
dos puntos son dos puntos que determinan un segmento, pero no suele estar
materializado físicamente.
El conjunto de los segmentos del plano nos rive como
conjunto base para establecer la magnitud longitud. Para ello tenemos que
establecer un procedimiento que nos permita:
- Clasificar: los segmentos, o sea decir cuales son iguales
entre sí. Dice que dos segmentos son iguales si superpuestos coinciden.
Las transformaciones isométricas, plano (traslación, giro y simetría)
garantizan la posibilidad de transformar un segmento en otro igual. En la
práctica se hace llevando un ejemplar sobre otro por medio de un
portasegmentos, que puede ser una regla, un compás, o un doblez en un
papel sobre el cual se marcan dos trazos que determinan el segmento a
transportar.
- Ordenar: los segmentos, decidiendo cual es el mayor o
menor que otro. Para ello se transporta un segmento sobre otro, haciendo
coincidir dos de sus extremos. Aquel cuyo otro extremo caiga dentro del
otro segmento es el menor. Cada segmento particular es un ejemplar de la
figura geométrica SEGMENTO, que es una idea abstracta como sabemos, o sea,
el SEGMENTO es propiamente la clase.
- Establecer
la operación suma de los segmentos. Para ello los sumandos, han de colocarse consecutivamente y la
suma es el segmento determinado por los extremos del segmento resultante.
- Establecer
el producto de un segmento por un número. Se parte del producto por un número natural y luego se
generaliza a otros conjuntos numéricos. Se puede garantizar además que
dados los segmentos a <= b, siempre existe un número tal que
multiplicado por a nos da un segmento mayor que b. Con todo ello ya
podemos asegurar que la longitud de dos segmentos es una magnitud.
6. Representación de los segmentos por sus medidas
Podemos representar la cantidad de longitud de los
segmentos (los datos) por sus medidas y operar con ellas para obtener la
longitud del segmento resultado.
En la enseñanza de la Geometría se suele prestar
mucha más atención a los cálculos que al proceso de medir.
7. Instrumentos de medida de longitudes y distancias
Para medir longitudes de los objetos que nos rodean
habitualmente, distancias accesibles, se utilizan los instrumentos simples
conocidos: la regla graduada, la cinta métrica o el metro plegable.
Para medir longitudes pequeñas, del orden del mm, se
utilizan instrumentos especiales como el nonius, palmer y tornillo
micrométrico.
Acudir a la trigonometría para medir distancias
entre puntos algo alejados sobre la superficie terrestre.
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